K667: VT 波動率目標策略的保險成本定量分析——20 年 5,089 交易日實證

摘要

本研究針對 VT（Volatility Targeting，波動率目標）策略的「保險成本」進行系統性定量分析。以 2006 年至 2026 年（20.2 年，5,089 個交易日）的 SPY、GLD、VIX 日收盤資料為基礎（價格報酬，不含股息），比較五個組合策略的年化報酬、Sharpe 比率、MDD（最大回撤）及逐年保費。核心發現：12/VIX SPY 相對 BH SPY 的年化保費（全期 CAGR 差）為 2.505%；另以 20 個年度保費做單樣本 t 檢定，均值 3.696%，t=2.245（p=0.037），在 5% 水準顯著，但未達多重檢定文獻常用的 t>3 門檻。50/50+VT 策略保費降至 1.334%/yr，全樣本 MDD 縮小 43.73 個百分點，每縮小 1 個百分點 MDD 的保費僅 0.030%，在本文比較的正保費組合中最低。含股息時，12/VIX SPY 與 50/50+VT 的保費分別為 3.191% 與 2.683%。與 ATM 保護性賣權的毛購買成本（年化約 26.1%）相比，12/VIX SPY 的保費約為其 1/10，50/50+VT 約為 1/20。Break-even 粗算顯示 12/VIX SPY 需要危機每 2.2 年發生一次才打平（歷史上 SPY 跌超過 20% 約每 5 年一次），50/50+VT 的打平間隔為 25.5 年。以前一個交易日的 VIX 分類時，危機體制（VIX≥30）的保費為正，VT 沒有在危機日「賺回」保費。

研究背景

VT 策略的核心邏輯是以 VIX 波動率目標（通常設為 12%）動態調整股票曝險，在市場低波動期持有較多股票，高波動或危機期減倉。VT 策略是否真的「同時是 alpha 也是保險」，取決於這份保險的成本有多大，而成本必須先被量化才能回答。K664 實驗顯示 50/50+VT 策略在 20 年中 MDD>20% 的機率為 0%。

然而，「保險」必然有成本。持有 VT 策略意味著在多頭市場中持有較低股票曝險，犧牲部分報酬，換來較淺的原始最大回撤。本研究的問題是：這個成本究竟是多少？相比其他保護手段是否划算？什麼條件下 break-even？

本研究把 VT 的保費量化，並與期權保護的成本放在同一框架比較。先前文獻（Moreira & Muir 2017）著重於 VT 的 Sharpe 改善，Israelov & Nielsen（2015）則分析了期權保護的隱含成本；K667 把這兩條線索放在同一個框架下比較。

方法與數據

比較策略：

 保費定義 ：年化保費 = BH_SPY 的 CAGR − 對應策略的 CAGR。正值表示策略落後（付出保費），負值表示策略的報酬較高。

 Break-even 定義 ：Break-even 間隔 =（BH_SPY 跌幅超過 20% 事件的平均跌幅 − 策略本身跌幅超過 20% 事件的平均跌幅；策略沒有此類事件時記為 0）÷ 年化保費。它以平均事件跌幅近似避開的損失，不是同一事件的配對比較。

 ATM put 成本 ：以 Black-Scholes 模型、VIX 作為隱含波動率代理，每月滾動買進價平賣權，計算年化毛購買成本。此成本未扣除賣權到期時的收益，也未計買賣價差，因此不是避險組合的淨成本；與 VT 保費的比較只說明成本高低。

核心發現

發現一：各策略績效彙整

下表列出 2006-2026 年全樣本績效指標（價格報酬口徑）：

12/VIX SPY 的 Sharpe（0.400）高於 BH_SPY（0.325），年化波動率由 19.37% 降到 9.48%，MDD 由 -56.47% 縮小到 -28.61%。50/50+VT 的 Sharpe（0.630）與 BH_50/50（0.615）相近，MDD 從 -33.02% 壓縮到 -12.74%，Sortino 則略高。表中 Sharpe 的差距沒有做差異檢定。

發現二：逐年保費的統計檢定

20 個完整年度（2006–2025）的逐年保費（BH SPY 年報酬 − 12/VIX SPY 年報酬）統計量：

t=2.245（p=0.037）在 5% 水準下顯著，但未達 t>3 的門檻。檢定把 20 個先四捨五入到小數兩位的年度保費視為獨立樣本，沒有做 HAC 或 bootstrap。年度保費均值 3.70% 與全期 CAGR 差 2.505% 是不同的量：前者是逐年差的算術平均，後者是全期年化複利報酬的差。

圖三呈現逐年保費，紅色柱體（VT 落後）有 17 年，綠色柱體（VT 年報酬較高）有 3 年。

發現三：各保護手段的 cost-efficiency 比較

下表統整所有比較組的年化保費（以 BH_SPY 為基準）與全樣本 MDD 縮小幅度：

從 BH_SPY 切換到 50/50+VT 的 cost-per-1%-MDD-reduction 僅 0.030%，是從 BH_SPY 切換到 12/VIX SPY（0.090%）的三分之一，也是表中最低的正保費方案。這裡的 MDD 縮小是全樣本最大回撤之差，不是每次危機都能少虧的幅度。

圖一中，50/50+VT 位於正保費區（保費 1.33%），MDD 縮小幅度最大（43.73pp）。ATM 保護性賣權（估算 26.1%/yr）沒有放進圖中：本文沒有計算賣權組合的 MDD，因此不比較兩者的保護效果。

發現四：Break-even 危機頻率分析

Break-even 分析回答「保費要靠多常發生的危機才能打平？」

12/VIX SPY 的 break-even 需要危機每 2.2 年發生一次。歷史上 20.2 年共 4 次超過 20% 的回撤，平均約每 5.0 年一次。12/VIX SPY 本身也有 1 次超過 20% 的回撤（28.61%），平均事件跌幅只比 BH SPY 少約 5.42 個百分點；以這個粗算，在歷史危機頻率下保費偏貴。

50/50+VT（vs BH_SPY）在樣本期沒有任何一次跌超過 20%，以 BH SPY 的平均事件跌幅 34.03% 計，打平間隔為 25.5 年，長於歷史上約 5 年一次的頻率。這個算法拿平均事件跌幅近似避開的損失，沒有逐一配對同一事件，結果只是粗略比較。

圖二的虛線標示買進持有 SPY 跌超過 20% 的歷史頻率（約每 5.0 年一次）。12/VIX SPY 的打平間隔（2.2 年）短於虛線，50/50+VT（25.5 年）長於虛線。

發現五：VIX 體制下的保費分解

以前一個交易日收盤 VIX 分組，各組當日報酬的算術年化（日均 ×252）與保費如下：

依前一日 VIX 分組時，12/VIX SPY 在四個體制的保費都為正，危機體制（VIX≥30）最高，達 24.03 個百分點。前一日 VIX 在 30 以上時，12/VIX 的 SPY 曝險最多 40%（12 除以 30），而這些日子 SPY 的平均報酬偏高，曝險低就少賺。這個模式是降低曝險的機械結果，不能單獨證明 VT 提供回撤保險。表中數字是條件日平均的算術年化，不是事件期間的累計報酬，也不是 CAGR；各體制之間的差距沒有做統計檢定。

發現六：與 ATM 保護性賣權的比較

12/VIX SPY 的年化保費（2.50%）約為 ATM put 估算毛成本（26.1%）的 1/10，50/50+VT 約為 1/20。賣權有到期日，每月需重新買進並支付價差；VT 沒有到期日，但每天依 VIX 調整部位，本文回測沒有計入這部分交易成本。兩者的成本定義不同，這個倍數只比較成本，不比較保護效果。

實務意義

 對配置投資人 ：若目前持有 100% SPY 且以降低回撤為目標，50/50+VT（保費 1.33%/yr，全樣本 MDD 從 56.47% 縮小至 12.74%）是本文比較的正保費方案中，每單位 MDD 縮小成本最低的選擇。12/VIX SPY 的保費約 2.50%，以 break-even 粗算，在歷史危機頻率下並不打平（需每 2.2 年一次危機，實際約每 5 年一次）。

 對風險管理研究者 ：以前一日 VIX 分類時，危機體制（VIX≥30）中 12/VIX SPY 的算術年化報酬落後 BH SPY 24.03 個百分點，VT 沒有在危機日跑贏買進持有；逐年來看，17/20 年需支付正保費。VT 的 MDD 縮小來自降低曝險的機械效果，不等於危機日的報酬優勢。

 對策略研究者 ：12/VIX 的 break-even 2.2 年 vs 歷史 5 年，意味著純 SPY VT 策略以這個粗算偏貴；配上 GLD 作為 50/50 後，保費降為 1.33%，MDD 縮小幅度反而更大（43.73pp vs 27.87pp）。保費較低主要來自 GLD 的報酬：每日再平衡的 50/50 組合 CAGR 為 10.42%，高於 SPY 的 8.30%；依 VIX 減碼本身使 50/50 組合每年少賺 3.456%（BH_50/50 → 50/50+VT）。兩種 VT 的權重都只看前一日 VIX，加入 GLD 並沒有改變減碼的時機。

限制與穩健性

1.  落後一日的約定 ：VT 權重使用 t-1 收盤 VIX 決定 t 日部位，VIX 體制分類也以 t-1 收盤 VIX 為準。「前一日」是日線資料的約定；VIX 收盤值的公布時刻、同一收盤成交的延遲與隔日開盤成交的價差沒有另外量測。
2.  ATM put 成本為估算 ：以 Black-Scholes + VIX 作為隱含波動率代理計算毛購買成本，未扣到期收益，也忽略 vol-of-vol 溢價、買賣價差與流動性。實際賣權組合的淨成本可能高於或低於這個估算。
3.  樣本期包含 GFC（2008）與 COVID（2020） ：兩次歷史性危機均在樣本期內，這有利於 VT break-even 計算；若未來危機間隔拉長，12/VIX SPY 的偏貴問題會更嚴重。
4.  交易成本未計入 ：實際執行 VT 需要頻繁調倉，特別是在高波動期；交易摩擦會進一步提高有效保費。
5.  現金利率假設 ：未投入部分以年化 2% 固定利率計息，沒有以實際短期利率序列重算。
6.  Break-even 假設危機損失固定 ：實際危機嚴重程度不同（GFC vs COVID vs 2022），break-even 分析以平均事件跌幅近似，不是同一事件的配對比較。
7.  價格報酬口徑 ：主要數字不含股息；以調整收盤價（含股息）計算時，12/VIX SPY 與 50/50+VT 的保費分別為 3.191% 與 2.683%。
8.  統計推論 ：年度保費 t 檢定假設各年獨立，未做 HAC 或 block bootstrap；Sharpe 與各 VIX 體制之間的差距沒有做差異檢定。

結論

K667 以 20 年實證資料量化了 VT 策略的保險成本結構。12/VIX SPY 每年付出 2.50% 保費（價格報酬口徑），MDD 從 -56.47% 縮小至 -28.61%；50/50+VT 僅付 1.33%，MDD 縮小幅度更大（43.73pp），是本文比較的正保費方案中每單位 MDD 縮小成本最低者。

補充限定：K667 的 MDD 改善同時反映 VT 降低股票曝險的機械效果。後續實驗 K1953（五個資產）把買進持有縮到同樣曝險後比較，沒有找到 VT 提供回撤保險的證據。本文的「保險」一詞只指報酬落差（保費），不作為保護效果的結論。

Break-even 粗算呈現不對稱：12/VIX SPY 在歷史危機頻率下保費偏貴（需每 2.2 年一次危機，歷史約每 5 年），50/50+VT 的打平間隔為 25.5 年，長於歷史頻率。這個結果依賴平均事件跌幅的近似，也依賴 GLD 在樣本期的報酬。以前一日 VIX 分類時，危機體制中 VT 落後買進持有；VT 的效果在全樣本回撤，不在危機日的報酬。

後續研究方向：(1) 動態保費定價——VIX term structure 條件下的 VT 成本是否可預測？(2) 跨資產 VT 保費比較，台股（0050.TW）VT 的保費結構是否與美股一致？(3) 策略最佳化，是否存在一個目標波動率設定使得 12/VIX SPY 的 break-even 恰好落在歷史危機頻率附近？

本文基於實驗 K667（腳本：experiments/k667/k667_insurance_cost.py）。資料來源：yfinance SPY/GLD/VIX 日收盤（未調整 Close，價格報酬），期間：2006-01-04 至 2026-03-27，20.2 年，5,089 個交易日。圖表由 storage/charts/corrections_20261022/k667_corrections_charts.py 產生。

參考文獻：Moreira & Muir (2017) Volatility-Managed Portfolios, JF；Israelov & Nielsen (2015) Still Not Cheap；Hallerbach (2012) Optimality of Volatility Weighting。