股票加黃金的風險值，為何受相關性設定影響？

如果你手上有一個「股票一半、黃金一半」的組合，有人問你明天最糟會虧多少，你大概會給一個數字。

那個數字是算出來的。算的時候你必須先假設兩件事：每個資產自己會抖多大，以及這兩個資產會不會一起跌。

第二個假設是這篇要檢查的地方。相關係數會隨時間改變，所以有些模型讓它隨時間浮動，有些模型把它固定。

這篇用實驗 K1041 檢查一個具體問題：同一個組合、同一段期間，固定相關與浮動相關的風險數字，實際被市場打穿的次數差多少；這個差異有多少來自相關性，有多少來自單一資產的波動設定。

拿一個真實的組合去試

我們用股票指數 ETF（SPY）與黃金 ETF（GLD）各一半的組合，資料從 2005 年開始。模型的預測從 2019 年 1 月起，共 1,828 個交易日，前面那一段全部拿去估參數，評估期間的每一天，模型只看得到那一天之前的資料。風險值回測需要先累積 252 個交易日的標準化殘差，所以回測樣本是 1,576 個交易日。

要算的東西是：明天的虧損，有多少機率會超過某個門檻。

門檻設兩個。一個是「這條線平均每四十天該被打穿一次」（也就是 2.5%），另一個是「每一百天被打穿一次」（1%）。

這種數字的檢驗方式很單純：把整段期間跑完，數實際被打穿幾次。設定 2.5% 的那條線，在 1,576 個交易日裡應該被打穿約 39 次。打穿太多，代表風險算小了；打穿太少，代表風險算得太保守。

四種算法一起跑。差別只有兩個維度：

•  相關性 ：固定的，還是讓它隨時間浮動。
•  單一資產的波動 ：只用價格本身推，還是額外把市場的恐慌程度（VIX）也放進去。

兩個維度各兩種選擇，剛好四種組合。

第一個結果：四個版本被打穿的次數都高於目標

（回測樣本 1,576 個交易日；2.5% 那條線的目標是約 39 次，1% 那條線的目標是約 16 次。）

四個版本全部都被打穿得比目標多：2.5% 那條線實際在 43 到 54 次之間，1% 那條線實際在 22 到 26 次之間。這是一個組合、一段期間的結果，不能推論所有風險模型都偏樂觀。

四個版本的次數不同。在 2.5% 那條線上，固定相關加基本波動設定的版本被打穿最多次（54 次，實際比率 3.43%），Kupiec 檢定拒絕「實際機率等於設定值」的假設（p 值 0.026）；其餘三個版本沒有被拒絕。被打穿最少的是浮動相關加入市場恐慌程度的版本（43 次，實際比率 2.73%）。

這個差距有兩個限制，不能直接讀成「相關性要不要動」的效果：

• 54 次與 43 次的兩個版本同時改了兩件事：相關性從固定改成浮動，波動設定也從基本改成加入恐慌程度。
• 只換相關性的兩組比較，基本波動設定下是 54 次對 47 次，加入恐慌程度下是 49 次對 43 次。兩組預測損失差的檢定統計量分別是 2.671 與 2.550，都沒有跨過比較嚴格的那道門檻（校正後的統計量需大於三）。

有一個反例值得注意。固定相關但加入市場恐慌程度的那個版本，在 1% 那條線上反而是四個裡面最差的（打穿 26 次，實際比率 1.65%）。把某一個環節做得更細，不保證整體會更好。

第二個結果：固定相關性在 COVID 子樣本裡不動

這裡有個容易誤解的地方。所謂固定相關，並不是整段期間都用同一個數字，參數每隔一段時間（K1041 設定為每 63 個交易日）會重估一次，所以它會跳。真正的問題是 兩次重估之間它完全不動 。

看 2020 年 2 月至 6 月的 COVID 子樣本：

這五個月裡，固定相關的兩個版本，估計的相關係數最高值減最低值是 0.010 與 0.012，實質上是一條水平線。浮動相關的兩個版本則是 0.470 與 0.321。

這是模型估計值的擺動幅度。K1041 沒有獨立驗證那段期間實際相關性移動了多少，所以只能說：浮動設定允許估計的相關係數移動，固定設定在兩次重估之間不允許；不能說浮動設定估得比較準。

第三個結果：兩個設定各自帶來多少改善

到這裡看起來結論是「相關性很重要」。實際數字說的不完全是這樣。

拿同一個誤差指標比，改善幅度是：

 換波動設定帶來的改善，比換相關性設定大了一倍以上。 

做兩兩比較的統計檢定時，只有兩組跨過了比較嚴格的那道門檻（校正後的統計量要大於三）：一組是在固定相關下換波動設定（統計量 3.086），另一組是從最差版本一路換到最好版本（統計量 3.826）。其他三組沒有跨過：單獨把相關性放開的兩組是 2.671 與 2.550，在浮動相關下換波動設定是 2.884。

所以更準確的說法是：在這組資料裡，換波動設定的誤差改善比只換相關性大，但這個優勢也只在固定相關下跨過嚴格門檻；兩個設定的證據強度，用比較保守的判準看，都不到「確定」。

這件事對你的意義

如果你自己在算組合風險，或者你在看別人給你的風險報告，這篇給的是三個可以直接問的問題：

1.  這個數字是用什麼相關性假設算的？  固定相關的設定，在兩次重估之間不會跟著市場移動。
2.  它被回頭檢驗過嗎？  檢驗方式不需要懂模型：把過去幾年跑一遍，數實際被打穿幾次，跟設定的次數比。差太多就是不能用。
3.  改善花在哪裡？  這次只放開相關性的改善，比換波動設定的小。

這次做不到的事

•  只有一個組合、一種權重。  股票加黃金各一半。換成別的資產、別的權重，結論不保證成立。
•  評估期間只含一次重大危機。  回測樣本裡只有 COVID 這一次，結論不能推到其他類型的壓力期。
•  1% 那條線上的差距很小。  四個版本的打穿次數落在 22 到 26 之間，樣本量不足以把它們分得很開。
•  只換相關性的優勢沒跨過嚴格門檻。  它在兩個比較裡方向都一致，但用比較保守的判準看，證據強度不到「確定」。
•  這是預測風險數字的準確度，不是投資績效。  風險算得準跟賺得多是兩件事，這次沒有測後者。

資料與方法

股票指數 ETF（SPY）與黃金 ETF（GLD）的每日價格取自公開行情資料，另取 VIX 日資料作為外生輸入。資料期間 2005-01-01 至 2026-04-10，模型預測自 2019-01-01 起共 1,828 個交易日，風險值回測 1,576 個交易日。滾動估計視窗 2,000 個交易日，每 63 個交易日重估一次參數，隨機種子固定為 42。

完整程式碼、參數與結果檔在 experiments/k1041/，本文所有數字都取自該目錄的結果檔；圖表直接讀該結果檔繪製，沒有另外手動輸入數字。

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