K850：為什麼預測盤中波動最準的模型，算出的全日風險值反而最差？

摘要

K850 實驗展示了一個常被忽略的方法論要點： HAR-RV 預測的是盤中 realized variance（日內交易時段的波動），而 VaR 計算需要的是 close-to-close 全日波動（含隔夜）。兩者衡量不同的東西，所以 HAR 的 QLIKE 更好（在盤中 RV 上）不代表它的 VaR 也更好（VaR 基於全日 return）。GJR-GARCH 直接預測 close-to-close $\sigma^2$，天然更適合 VaR 計算。 

實驗設計

•  資產 ：SPY（標普 500 ETF）
•  期間 ：2014-2024（約 10 年日頻數據）
•  OOS 樣本數 ：HAR 組 450 天，GJR 組 481 天
•  模型比較 ：
  • GJR-GARCH(1,1) + Normal 分配
  • GJR-GARCH(1,1) + Cornish-Fisher 修正（CF，考慮偏態與峰態）
  • HAR-RV + Normal 分配（用 5-min RV 預測）
  • HAR-RV + Cornish-Fisher 修正
•  VaR 計算 ：1% 信心水準，符合 Patton 2011 規範
  • GARCH → VaR = $\sigma$ × z_{0.01}（依分配調整）
  • HAR-RV → $\sigma$ = √RV，殘差分配假設 log-normal
•  VaR backtesting ：Kupiec test + Christoffersen test + Basel traffic light

核心結果

 DM test（QLIKE） ：HAR-RV 對比 GJR-GARCH，t-stat =  -5.60 ，遠超 Harvey (2016) |t|>3.0 門檻。HAR-RV 的預測精度確實顯著更好。

 但在 VaR 面向 ：HAR + CF 的超標率 3.78%，是 1% 目標的近 4 倍；GJR + CF 的超標率 0.42%，甚至低於 1% 目標。

交叉對比圖解

QLIKE（預測精度）vs VaR 超標（風控品質）呈現「交叉」關係：

QLIKE（越低越好）        VaR 超標率（越低越好）
HAR : 0.101 ★           HAR+CF : 3.78% ✗
GJR : 0.220             GJR+CF : 0.42% ★

HAR 在盤中 RV 預測上更準（它的原生 target），GJR 在全日 VaR 上更好（它的原生 target），兩者回答不同問題，不是「逆序」而是「各有所長」。

機制解釋：根本原因是 target 不匹配

0. 根本原因：模型預測的標的不同\n\nHAR-RV 預測的是 盤中交易時段的 realized variance ，不包含隔夜波動。但 VaR 是基於 close-to-close daily return 計算的，包含隔夜跳空。台股夜盤佔總波動 43%（K848），HAR 預測的 RV 天然缺少這部分。用盤中波動估計值去計算全日 VaR，等於用一把量半張桌子的尺去量整張桌子。\n\n要讓 HAR-RV 的預測用於 VaR，必須先用 Hansen & Lunde (2005) 方法調整為全日波動率：RV_total = w₁×RV_intraday + w₂×r²_overnight。K850 沒做這個調整，所以 HAR 的 VaR 表現差是 預期結果 ，不是「悖論」。\n\n### 1. 次要因素：VaR 依賴尾部，不是均值

QLIKE 衡量的是模型在 平均意義下 預測 sigma² 的準確度。但 1% VaR 只關心最壞的 1% 情境，即殘差分配的 左尾 。

• HAR-RV 模型的殘差（真實 RV - 預測 RV）若呈現 fat-tail 或 skewed，log-normal 假設會大幅低估真實尾部厚度
• GJR-GARCH 的 Cornish-Fisher 修正直接用實際數據的偏態（skewness）和超額峰態（excess kurtosis）調整 z 值，使 VaR 更保守

2. GJR+CF 的 VaR 更為保守

• GJR+CF VaR = -3.83%（日）
• HAR+Normal VaR = -2.52%（日）
• 差距 52%——GJR+CF 設置了更高的保護門檻

這種保守性來自 Cornish-Fisher 展開：

z_{CF} = z_$\alpha$ + \frac{\hat{s}}{6}(z_$\alpha^2$ - 1) + \frac{\hat{k}}{24}(z_$\alpha^3$ - 3z_$\alpha$) - \frac{\hat{s}^2}{36}(2z_$\alpha^3$ - 5z_$\alpha$)

其中 $\hat{s}$ 是偏態、$\hat{k}$ 是超額峰態。SPY 殘差的 $\hat{s} < 0$（左偏）和 $\hat{k} > 0$（胖尾），使 $z_{CF}$ 比 $z_{Normal}$ 更負，VaR 更大。

3. HAR-RV 的分配假設錯誤

HAR-RV 預測 RV，再轉換為 VaR 時需要假設 $r_t | RV_t \sim N(0, RV_t)$（近似）。但實際數據顯示：

• 即使條件於已知 RV，日報酬的尾部仍然胖於 Normal
• HAR 的 log-normal 殘差假設在極端事件時低估下尾風險

Patton (2011) 框架的啟示

本實驗的結果完全符合 Patton (2011) 的理論框架：

QLIKE 是預測 sigma² 時的 proxy-robust 損失函數，但它衡量的是均值預測精度，不是分配形狀的正確性。

換言之：

•  QLIKE 告訴你 ：模型在「平均上」多接近真實波動率
•  VaR backtesting 告訴你 ：模型對尾部風險的捕捉是否正確

HAR-RV 在 QLIKE 面向的成功，並不能保證在 VaR 面向的成功，因為 VaR 的關鍵是尾部分配的正確假設，而非 sigma 的均值預測。

與 K849 的關係

K849 顯示：在 5-min RV（盤中波動）這個 target 上，HAR-RV 的 QLIKE (0.181) 優於 GJR-GARCH (0.531)。這是預期結果——HAR 本來就預測盤中 RV，GARCH 預測的是 close-to-close $\sigma^2$。

K850 補充：盤中盤中 RV 預測精度不能直接轉化為全日 VaR 品質（target 不匹配：盤中 vs 全日含隔夜）**，根本原因是 target 不匹配（盤中 vs 全日），分配假設只是次要因素。

完整的模型評估必須涵蓋兩個維度：

1.  預測精度 （QLIKE on 5-min RV）：HAR-RV 勝
2.  風控品質 （VaR backtesting）：GJR+CF 勝

後續研究方向

1.  HAR + Cornish-Fisher 的正確實作 ：K850 的 HAR+CF 結果（17/450，更差）表明，直接套用 CF 到 HAR 殘差可能有方法論問題——HAR 殘差是預測 RV 的誤差，不是直接的 return 殘差
2.  HAR + Student-t 殘差分配 ：允許 fat tail，可能改善 VaR 品質
3.  FHS（Filtered Historical Simulation） ：使用 HAR 預測的 RV 對歷史殘差標準化，再做 historical simulation——可能結合兩者優點
4.  組合策略 ：HAR 預測 sigma，GJR+CF 提供分配形狀，ensemble VaR

局限性

1.  OOS 樣本差異 ：HAR（450 天）vs GJR（481 天），略有不同
2.  HAR→VaR 轉換的假設 ：log-normal 假設尚未充分驗證，是結論的主要不確定性來源
3.  單一資產 ：僅 SPY，台股（0050.TW）的 VaR 結果可能不同（台股尾部更厚）
4.  樣本期間偏誤 ：2014-2024 涵蓋 COVID、2022 熊市，若期間不同，結論可能有差異

實驗腳本: experiments/k850.py 結果數據: experiments/k850_results.json 數據來源: yfinance SPY，期間 2014-2024，約 2500 個交易日 參考文獻: Patton (2011) Journal of Econometrics; Harvey (2016) JBES; Cornish & Fisher (1937); Christoffersen (1998) International Economic Review; Basel Committee (2016) Minimum Capital Requirements for Market Risk