六個市場的波動都很鋸齒，把鋸齒程度加進預測公式有比較準嗎？樣本外沒有一致的好處

有一種說法是，金融市場的波動像鋸齒：這一天大、下一天小，跳來跳去。學界用一個叫 Hurst 指數（H）的數字衡量，H 越低越鋸齒，0.5 代表像隨機漫步那樣平滑。這篇檢查兩件事。第一，六個市場（美國大型股 SPY、那斯達克 QQQ、新興市場 EEM、歐元區 FEZ、黃金 GLD、原油 USO）是不是都這麼鋸齒？第二，把鋸齒程度加進常用的波動預測公式，預測會不會比較準？

第一件事的答案是：用每天的最高價與最低價算出來的 H，六個市場全部遠低於 0.5。第二件事的答案是：沒有一致的好處。

六個市場的鋸齒程度

研究用每天的最高價與最低價估計當天的波動，再算 H。全樣本的 H 最低的是黃金（0.033），最高的是美國大型股（0.087）。把資料切成前、中、後三段，或用最近 504 個交易日滾動計算，六個市場的 H 全部低於 0.5。

「都低於 0.5」是穩定的，鋸齒的程度卻不固定。美國大型股的 H 由前段的 0.057 升到後段的 0.115，那斯達克與歐元區也是後段高於前段。

這個鋸齒是真的嗎？最高價與最低價是一種粗略的量法，Cont 與 Das 在 2024 年的論文指出，這種量法本身的誤差就足以讓 H 看起來很低。這份研究沒有辦法分辨有多少是真實的鋸齒、有多少是量法造成的，所以只能說「在這種量法上，H 低於 0.5」。

把鋸齒程度加進預測公式

HAR 是常用的波動預測公式：用昨天、過去一週、過去一個月的波動，預測明天的波動。研究另外做了一個版本，依最近 504 天的 H 調整權重：H 越低，昨天的權重越高，月平均的權重越低。兩個版本都從 2022-01-03 開始，對每個市場各預測 1,110 個交易日，每天只用前一天以前的資料。

「誤差變化」正值代表加入 H 後比較準；檢定強度的符號相反，負值代表加入 H 後誤差較低。六個市場裡，QQQ、EEM、FEZ 這三個誤差小一點，SPY、GLD、USO 這三個反而大一點，方向不一致。

研究用的嚴格門檻是檢定強度的絕對值要大於 3。六個市場的檢定強度最大也只有 1.699，沒有任何一個市場過門檻。把六個市場的預測誤差串在一起看，檢定強度是 0.708；如果加入 H 沒有任何作用，出現這麼大差距的機率是 0.479，並不罕見，也看不出差別。

和先前研究的差別

之前有一篇文章在標普 500 一個市場上，測過另一種用 H 的預測模型，結果是原本的 HAR 比較準。這篇換成六個市場與另一種用法，結果比較弱：沒有任何一個市場的差距過門檻，也就是說，找不到證據顯示加入 H 比較好，也找不到證據顯示它比較差。

這個結果能說什麼

• 能說：用最高價與最低價量，六個市場的波動都呈現 H 低於 0.5 的鋸齒狀。
• 不能說：把鋸齒程度加進 HAR 能讓預測更準。六個市場裡三個名義上變準、三個變差，沒有一個過門檻。
• 沒有檢定的事：這個鋸齒是真實的市場特性，還是量法的誤差；也沒有檢定其他把 H 用進預測的方式。

限制

•  量法粗略 ：用最高價與最低價估計波動，不是更細的盤中資料；學界對這種量法會不會製造假的鋸齒仍有爭論，本研究沒有解決。
•  只試了一種用法 ：依 H 重新加權 HAR 是研究者設計的簡化版本，不是唯一的做法。
•  檢定次數 ：六個市場各做一次檢定，沒有逐一校正，所以用嚴格門檻代替；合併檢定也沒有處理市場之間同時漲跌的相關。
•  範圍 ：只涵蓋六檔 ETF 與 2022-01-03 到 2026-06-05 這段樣本外期間。
• 這是研究結果，不是對個別投資人的建議。

資料來源：六檔 ETF（SPY、QQQ、EEM、FEZ、GLD、USO）的每日最高價與最低價，本地資料；預測期 2022-01-03 至 2026-06-05，每個市場 1,110 個交易日。

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