1309 個實驗後的最強預測模型：HAR 多尺度框架全面擊敗 GARCH

1309 個實驗後的最強預測模型：HAR 多尺度框架全面擊敗 GARCH

在超過 1300 個波動率預測實驗之後，我們終於找到了一個能在 所有資產 上顯著打敗 GJR-GARCH 的模型，而且勝出的幅度很大。

這就是  HAR（Heterogeneous Autoregressive）模型 ，由 Corsi (2009, JFE) 提出的多尺度波動率預測框架。它的核心思想簡單卻強大：波動率的走向由三個不同層次的資訊同時驅動：前一個交易日、過去一週與過去一個月的波動，單看其中一個時間尺度不夠。

HAR 模型的核心概念

想像你在觀察一條河的水位。如果只看昨天的水位，你可能被一場午後雷陣雨誤導。但如果你 同時 看：

•  日尺度（beta_1） ：昨天的水位（短期衝擊）
•  週尺度（beta_5） ：過去 5 天的平均（中期趨勢）
•  月尺度（beta_22） ：過去 22 天的平均（長期結構）

你對明天水位的預測就會準確得多。HAR 模型做的就是這件事，用三個時間尺度的「移動平均波動率」同時預測未來。

數學上非常簡潔：

sigma_t+1 = c + beta_1 * RV_1 + beta_5 * RV_5 + beta_22 * RV_22

其中 RV 是 realized volatility 的代理變數（我們使用 |r_t|，即日報酬率的絕對值）。

關鍵發現一：HAR-ABS 全面碾壓 GJR-GARCH

在 K530 實驗中，我們首先在 SPY 上測試了 6 種 HAR 變體 + 3 個基準模型。結果令人震驚：

 HAR-ABS vs GJR-GARCH 的 Diebold-Mariano 檢定統計量為 -15.45（p < 0.001） 

這是我們 1309 個實驗中 最強的 DM 統計量 。要理解這個數字有多誇張：Harvey (2016) 建議的嚴格門檻是 |t| > 3.0，而我們的數字是其 5 倍以上。在學術界，DM 統計量超過 -10 就已經極為罕見。

QLIKE 指標（越低越好）的對比更直觀：

HAR-ABS 的 QLIKE 只有 GJR-GARCH 的  32.5% ——預測誤差減少了近 68%。

關鍵發現二：7 個資產全部驗證通過

一個模型在一個資產上表現好，可能只是巧合。因此我們在 K532 實驗中，將 HAR-ABS 擴展到 7 種不同資產進行交叉驗證：

•  美股 ：SPY、QQQ
•  國際股票 ：EFA（已開發市場）、EWZ（巴西）
•  商品 ：GLD（黃金）
•  債券 ：TLT（美國長期國債）
•  台股 ：0050.TW（台灣50）

結果： 7/7 資產中，HAR-ABS 全部顯著優於 GJR-GARCH（DM p < 0.001） 。

圖 1：HAR-ABS 在全部 7 個資產上的 QLIKE 都遠低於 GJR-GARCH，差距為 2-4 倍。

DM 檢定統計量在每個資產上都極度顯著：

圖 2：所有 7 個資產的 DM 統計量都低於 -11，遠超 Harvey (2016) 的 |t| > 3.0 門檻。QQQ 甚至達到 -21.74。

關鍵發現三：代理變數的選擇至關重要

一個出人意料的發現： |r_t|（絕對報酬率）作為日波動率的代理變數，效果是 r_t^2（平方報酬率）的 3 倍以上 。

兩者的理論基礎不同：

• |r_t|：假設波動率與報酬率的絕對值成正比（Corsi 2009 原始設定）
• r_t^2：假設波動率與報酬率的平方成正比（GARCH 類模型的傳統假設）

我們的實證結果清楚顯示，在日頻數據上用 |r_t| 遠優於 r_t^2。原因可能是 r_t^2 會過度放大極端值：一個 5% 的日報酬，|r| = 0.05，但 r^2 = 0.0025——平方操作讓異常值的影響被不成比例地放大，導致預測不穩定。

關鍵發現四：係數揭示市場微結構

HAR 模型的三個係數本身就蘊含豐富的市場資訊：

 beta_1（日尺度）在 5/7 資產中為負值 ，代表日頻波動率存在均值回歸。昨天波動特別大，今天反而傾向平靜，這與我們對市場的直覺一致（恐慌後的冷靜期）。

 beta_5（週尺度）和 beta_22（月尺度）的主導權因資產而異 ：

•  股票類 （SPY、QQQ、EWZ）：beta_5 主導（0.41-0.59），代表週頻的「動能效應」更重要
•  商品和債券 （GLD、TLT）：beta_22 主導（0.43-0.76），代表月頻的「結構性水平」更重要
•  台股 0050.TW ：beta_22 幾乎是唯一顯著的（0.285），beta_1 和 beta_5 都不顯著，因為台股波動主要由外部驅動（美股 lead-lag），而非自身的短期動態

 HAR-VIX 是最佳單一模型 （有 VIX 的資產），加入 VIX 後 R^2 從 29.6% 提升到 34.6%。VIX 的係數高達 0.88（t=19.06），代表市場隱含波動率包含的前瞻資訊確實無法被歷史數據替代。

出人意料的轉折：最佳預測 != 最佳策略

K533 實驗把預測轉成波動率目標（VT）策略，檢驗預測準確度能不能帶來更好的投資結果。

 最準的預測模型沒有帶來最好的策略，但各策略之間的差距也都沒有達到顯著。 

我們將 HAR-ABS、HAR-VIX、HAR-ABS 與 12/VIX 權重各半的 Hybrid，以及 12/VIX 策略在三個樣本外期間進行比較，計算風險調整後的 Sharpe Ratio。策略把權重乘在 SPY、GLD 各半的組合上，其餘不投入；第 t 日的部位只用第 t−1 日收盤時已知的資訊（VIX 與 HAR 預測）決定。三段期間為 2020–2021、2021–2022、2023–2024（各 505、503、502 個交易日），前兩段共用 2021 年的 252 個交易日，所以三段並不互相獨立。

圖 3：四種 VT 策略的跨期平均 Sharpe 介於 0.955 與 1.010 之間；HAR-ABS 最高（1.010），12/VIX 為 0.988，HAR-VIX 最低（0.955）。

買進持有兩列不依賴任何預測，列出供對照。

Harvey (2016) |t| > 3.0 門檻： 無一通過 。這個檢定比的是各策略與 12/VIX 的日報酬平均差（9 個比較，最大 t 為 1.84），不是夏普差異檢定，也沒有做 HAC 調整。結論只能是：沒有找到 HAR 策略顯著擊敗 12/VIX 的證據，也沒有找到 12/VIX 顯著較好的證據。

扣除交易成本後（每單位權重變動扣 0.1%），三段平均夏普為 12/VIX 0.846、HAR-VIX 0.786、HAR-ABS 0.847、Hybrid 0.880，排名和毛夏普不同，差距同樣很小。

預測準確度和策略績效為什麼對不上？以下三個可能的原因都是假說，K533 沒有加以驗證：

1.  前瞻 vs 後顧 ：12/VIX 使用選擇權隱含的「未來資訊」，HAR 只能用歷史數據，在快速變化的市場中，後顧式模型可能有延遲
2.  平滑程度 ：HAR 的 RV22（22 天移動平均）反應較慢，而 VIX 反映當下的市場報價
3.  換手率 ：HAR 策略的權重變動較大（HAR-ABS 三段平均日周轉率 4.99%，12/VIX 為 3.24%），交易成本也較高

結論與意義

1.  HAR 是目前最強的波動率預測框架 ，在 7 個資產上全面且顯著地擊敗 GJR-GARCH（DM 最小 -11.11）
2.  代理變數很重要 ：|r_t| 遠優於 r_t^2，proxy choice is critical
3.  係數隱含市場結構 ：beta_5 vs beta_22 的主導權反映資產的波動率驅動機制
4.  預測 != 應用 ：預測準確度與策略績效是兩個不同的評估問題；K533 在資訊時間對齊後，HAR 類與 12/VIX 策略的差距沒有達到顯著，無法判定哪一方較好

局限性

• 日頻 |r_t| 是 realized volatility 的有噪音代理，高頻數據（5分鐘 RV）可能進一步提升
• HAR 是線性模型，可能無法捕捉非線性 regime change
• K530／K532 的樣本外期間為 2023-2024；K533 為 2020–2021、2021–2022、2023–2024 三段，前兩段重疊，覆蓋的極端市場事件有限
• K533 的策略比較採日線資訊約定：第 t 日的部位用第 t−1 日收盤資訊，收盤成交的延遲沒有另外量測
• VIX 不是所有市場都有，台股 0050.TW 無法使用 HAR-VIX

參考文獻

• Corsi, F. (2009). A simple approximate long-memory model of realized volatility. Journal of Financial Econometrics, 7(2), 174-196.
• Patton, A. J., & Sheppard, K. (2015). Good volatility, bad volatility: Signed jumps and the persistence of volatility. Review of Economics and Statistics, 97(3), 683-697.
• Andersen, T. G., Bollerslev, T., Diebold, F. X., & Labys, P. (2003). Modeling and forecasting realized volatility. Econometrica, 71(2), 579-625.
• Moreira, A., & Muir, T. (2017). Volatility-managed portfolios. Journal of Finance, 72(4), 1611-1644.
• Harvey, C. R. (2016). ... and the cross-section of expected returns. Review of Financial Studies, 29(1), 5-68.

數據來源：yfinance 實證數據，7 個資產（SPY/QQQ/EFA/EWZ/GLD/TLT/0050.TW），期間 2005-2026。