小波分析能不能改善波動率預測？K479 給的答案是：看你怎麼比

為什麼有人想用「小波」做波動率預測？

訊號處理界對小波（wavelet decomposition）幾乎是信仰級的偏愛。它能把一段時間序列拆成不同「頻率帶」，好比把一首音樂拆成低音、中音、高音三軌，讓你看清楚「短期雜訊」和「長期趨勢」分別貢獻了多少。

這個概念套到金融市場聽起來很迷人：日內快波是雜訊、週級慢波是動量、月級慢波是基本面，那把它們分開來建模豈不是天經地義？過去 20 年確實有不少論文宣稱小波能改善波動率預測，動輒把它和 GARCH、HAR 等主流模型比一比。

但我們在  K479 實驗 直接拿小波對上「波動率預測界的工作馬」HAR 模型，得到一個讓人冷靜的答案： 有時贏一點，有時輸一點，統計上幾乎沒差。 

K479 怎麼設計？

實驗對象是 SPY（S&P 500 ETF），樣本期 2005–2026 共 5,339 個交易日，樣本外（OOS）回測期  2023-01-01 到 2025-12-31 。我們比較六種模型：

1.  RV21 基準 （過去 21 日已實現波動率，最樸素的對照組）
2.  HAR （Corsi 2009 的標準多尺度模型，用 1 日 + 5 日 + 21 日已實現波動率）
3.  HAR + 小波 A4 （在 HAR 上多加一個低頻能量項）
4.  Wavelet-HAR （完全用小波分解 D1–D4 + A4 五個頻段能量）
5.  僅低頻 A4 
6.  僅高頻 D1+D2 

小波用 db4 母小波，4 層分解，252 日滾動視窗。 這裡有個重要的方法論細節 ：所有模型都用「t-1 以前的訊號預測 t 日的真實波動率」，沒有任何資訊洩漏。

更關鍵的是我們同時跑了 兩種估計方式 ：

•  Static ：用整段樣本內期間估一次回歸係數，然後一路套到樣本外。
•  Rolling ：每一季用最近樣本重新估計係數（更貼近實務 trader 用法）。

核心結果：小波到底有沒有用？

先看 QLIKE 損失（ 越低代表預測越準 ）：

數字攤開來：

 有趣的對比 ：

• 在  static  方式下，「HAR + 小波 A4」 贏 HAR 一個極小的小數 （-8.520 vs -8.517，改善 0.032%）。
• 在  rolling （季度滾動重估）方式下， HAR 反而比 HAR + 小波 A4 還好 （-8.505 vs -8.504）。

換句話說： 同一份資料、同一條小波、同一個目標 ，只是換了估計方式（一次估完 vs 季度滾動），結論就翻面了。

統計檢定：差異到底有沒有意義？

肉眼看起來「差一點」可能是雜訊。我們用比較檢定（兩個模型預測誤差的差值是否系統性偏向某一邊）來判斷：

 HAR vs HAR + 小波 A4 （最關鍵的對比）：

• Static：顯著性 0.182（ 未達顯著 ）
• Rolling：顯著性 0.229（ 未達顯著 ）

 HAR vs 純 Wavelet-HAR ：

• Static：顯著性 0.318（ 未達顯著 ）
• Rolling：顯著性 0.050（ 剛好邊緣顯著，HAR 較好 ）

 HAR vs 僅低頻或僅高頻 ：兩種估計下都 顯著輸給 HAR （顯著性 < 0.02），這代表「只用小波分量、丟掉 HAR 多尺度結構」是 確定的劣化 。

樣本內 R²：另一個角度也說同一件事

樣本內 R²（解釋力）：HAR = 0.236、HAR + 小波 A4 = 0.236—— 幾乎完全一樣 。純 Wavelet-HAR 反而掉到 0.100，僅低頻、僅高頻只剩 0.02–0.03。意思是：HAR 那三條 1d/5d/22d 的多尺度結構 已經把波動率裡能被線性解釋的部分用得差不多了 ，再灌進小波分量並沒有挖到新訊息。

為什麼「null result」反而值得寫成文章？

這個結果乍看「沒結論」，但對整個研究社群是重要警鐘。

第一， 過去文獻常宣稱「小波改善波動率預測」 ，但很多論文只報一種估計法、一個資料集、一段期間的 R² 提升。K479 同時跑 static + rolling，差距瞬間從「贏一點」變「輸一點」。 估計方式敏感度沒被控制 = 結論不穩 。

第二， Wavelet-HAR（D1-D4 + A4 全用）在樣本外整個爆掉 ——QLIKE 飆到 3,730（static）和 10,976（rolling），代表這個 spec 在樣本外是 ill-conditioned。如果只報 in-sample R²（0.100）讀者可能還以為「沒差很多」，但這正是把 in-sample 結果當 OOS 報的典型陷阱。

第三， 對波動率預測實務的啟示 ：HAR 的多尺度（1 日、5 日、22 日）已經是一種「人為但有效」的頻率分解；小波雖然數學上更優雅，但 在這個任務上沒帶來額外資訊 。Occam's razor 提醒我們：簡單方法經得起考驗，往往不是因為小波不好，而是因為 HAR 已經把該抓的抓到了。

結論與下一步

K479 的標題答案是： 小波在波動率預測上不是「萬能改良藥」 。它在某些 spec、某些估計方式、某些期間下會看起來贏，但這些勝利在統計檢定下都不顯著，而且翻轉非常容易。

這不代表小波永遠沒用。真正可能有戲的方向：

•  狀態相依（regime-conditional） ：在高波動或危機期分開估計，看小波是否在某個 regime 下穩定優於 HAR。
•  跨資產 panel ：單一資產上的小贏可能是雜訊，多資產 panel 可以提升統計檢定力。
•  配合非線性模型 ：把小波分量餵給 LSTM/XGBoost 而不是線性回歸，是另一條路。

但在我們承擔得起這些更複雜實驗之前，K479 給的紀律是： 任何「新方法贏舊方法」的宣稱，至少要跑兩種估計法、兩個比較檢定、一個 cross-OOS。否則你看到的可能只是估計法敏感度的鏡像。 

 資料來源 ：SPY 日資料（yfinance），樣本期 2005-01-04 至 2026-03-25。實驗代碼 experiments/k479/k479_wavelet_vol.py，結果 JSON experiments/k479/k479_wavelet_vol_results.json。圖表由 experiments/k479/make_article_figures.py 從原始 results 重新繪製。

 相關研究 ：K111（小波 vs GARCH，GARCH 勝）、K465／K469（HAR 在跨樣本外驗證下表現穩健）。