預估大跌時的損失，尾部改用極值理論有幫助嗎？SPY 與 HYG 的 2,891 個交易日對照

要估算「大跌的日子平均會虧多少」，模型得描述報酬分布最差的那一小段。這一段常見四種寫法：假設常態分配、假設學生 t 分配、直接拿歷史上的標準化殘差來抽樣（簡稱 FHS），以及只拿最差的 10% 報酬去配一條極值理論的尾巴。本文用 SPY（美股大盤 ETF）與 HYG（高收益債 ETF）在 2,891 個交易日的資料，把四種寫法放在同一套波動模型上比較。

結論先講：極值理論在 SPY 的兩個測試格綜合分數最好，在 HYG 的兩個測試格輸給學生 t 分配，不是全面勝出。和歷史殘差抽樣相比，極值理論的領先在 SPY 5% 門檻跨過事先設定的嚴格門檻（統計量 3.337），在 SPY 1% 門檻沒有（統計量 0.726）。四個測試格各對三個對手比較，極值理論共有 3 次跨過嚴格門檻，落敗 0 次。

四種寫法，同一套波動模型

四種做法共用一個會隨下跌放大波動的模型，每年用當時為止的資料重估一次，檢驗期從 2015-01-01 到 2026-07-02，共 2,891 個交易日，重估 12 次。預測某一天的門檻時，只用前一天以前的資訊。差別只在最後一步，怎麼描述標準化後報酬的左尾：

•  常態分配 與 學生 t 分配 ：直接套公式，後者的尾巴比前者厚。
•  歷史殘差抽樣 ：用過去標準化殘差的經驗分布，不假設公式。
•  極值理論 ：取最差的 10%，用一條專門描述極端值的曲線去配。

門檻有兩種鬆緊。5% 門檻的意思是預期每 100 個交易日有 5 天虧損會超過這條線，1% 門檻更嚴，預期每 100 個交易日只有 1 天。SPY 與 HYG 各測兩種，共四個測試格。資料是 Yahoo Finance 的調整收盤價，換算成日對數報酬，從 2007-04-12 到 2026-07-02，共 4,837 個交易日。

三把尺

第一把尺是綜合分數，同時評分兩件事：風險門檻放得準不準，以及跌破門檻後平均虧損預測得準不準。分數越低越好，表中數字是負的，越負越好。

第二把尺看門檻本身：實際被突破的比例要接近目標，檢定通過才算合格。

第三把尺是逐日累積的警報指標。它以最近 250 個交易日為視窗，每天比較實際虧損與預測的平均虧損，累積到一定程度就發出第一級警報。警報專看跌破門檻之後的虧損有沒有被低估，越頻繁代表模型越常低估風險。

比較兩種做法的分數差距有沒有大到不是運氣，用統計量判斷。本文事先設定的嚴格門檻是：統計量的絕對值要超過 3。檢定採用的頻寬是 21 個交易日。

第一把尺：綜合分數

極值理論在 SPY 的兩個測試格分數最低。HYG 兩個測試格分數最低的是學生 t 分配（HYG 5%：-4.8265，HYG 1%：-4.4224）。

深色柱代表差距跨過嚴格門檻，共三處，都是極值理論較好：SPY 5% 對歷史殘差抽樣（統計量 3.337）、SPY 1% 對常態分配（統計量 3.014）、HYG 1% 對歷史殘差抽樣（統計量 3.003）。學生 t 分配在 HYG 兩格的分數比極值理論好，差距沒有跨過嚴格門檻（統計量 −1.782 與 −2.241）。

這三次領先對檢定的頻寬設定敏感。結果檔只保存預設的 21 個交易日頻寬；獨立審查者另外用兩種頻寬重算，發現 SPY 1% 對常態分配那一次，在較短的頻寬下掉到門檻以下，HYG 1% 對歷史殘差抽樣那一次，在三種頻寬下都只貼著門檻。所以本文只把它寫成預設頻寬下的結果，不寫成穩健的三次勝出。

第二把尺：突破比例

括號內是突破比例檢定的結果。極值理論在 SPY 兩格與 HYG 5% 通過，只有 HYG 1% 沒通過：突破比例 0.59%，檢定機率值 0.0159，門檻偏保守。歷史殘差抽樣在 HYG 兩格都沒通過，HYG 1% 的突破比例是 0.55%。學生 t 分配在 SPY 兩格與 HYG 5% 沒通過，SPY 5% 的突破比例 6.16%、HYG 5% 是 5.88%，都高於目標。

HYG 1% 這一格說明為什麼只看一把尺不夠：極值理論與歷史殘差抽樣的突破比例都低於目標，門檻偏保守，綜合分數也輸給學生 t 分配；後者在這一格的突破比例檢定是通過的。

第三把尺：警報指標

常態分配的突破比例檢定在三格通過，警報卻在四格都響。兩把尺看的東西不同：一把看門檻的位置，一把看跌破之後的虧損有沒有被低估。極值理論與歷史殘差抽樣各只在一格響過警報，都是 SPY 1%，首次警報日同為 2016-09-09。和常態、學生 t 相比，兩者觸發警報的格數少很多。

這對你代表什麼

•  標的是 SPY 這類大型股票指數 ：極值理論是合理的候選。它在兩種門檻的綜合分數都最低，突破比例檢定都通過。但它不是唯一合理的選擇，歷史殘差抽樣的分數接近，在 SPY 兩格的突破比例檢定也都通過，兩者的差距只在 SPY 5% 跨過嚴格門檻。
•  標的是 HYG 這類高收益債 ETF ：這次資料不支持換成極值理論。學生 t 分配的綜合分數較好，不過它在 HYG 5% 的突破比例檢定沒通過；極值理論與歷史殘差抽樣在 HYG 1% 偏保守。
•  只用常態分配 ：突破比例檢定在三格通過，警報卻顯示跌破之後的虧損有被低估的跡象，四個測試格都觸發警報。評估尾部模型至少要同時看這三把尺。

這個研究的限制

• 只測 SPY 與 HYG 兩檔日資料，沒有盤中資料，也不涉及銀行整體交易簿的資本計算。
• 波動模型每年只重估一次。改成滾動 250 個交易日估計，警報出現的時間點可能不同。
• 極值理論的尾部門檻固定取最差的 10%，沒有做門檻敏感度檢查，所以不能說尾部門檻的選擇已經被檢驗為穩健。
• 警報指標是監管式的連續診斷，不能取代針對模型的經濟面驗證。
• 比較只針對一日預測，不主張報酬過程嚴格平穩或變異數有限。獨立審查者重算發現，波動模型有部分估計落在參數的自然邊界：SPY 學生 t 設定下每次重估的衝擊項係數都接近零，HYG 兩種分配下每次重估的持續性都接近 1，SPY 常態設定下大約一半的重估衝擊項係數接近零。結果檔沒有保存這些診斷。

延伸閱讀：McNeil 與 Frey（2000）〈Estimation of tail-related risk measures for heteroscedastic financial time series〉，Journal of Empirical Finance，DOI：10.1016/S0927-5398(00)00012-8。

本文僅為研究與教育用途，不構成投資建議。

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