隨機波動模型比標準波動模型準嗎？三檔 ETF、2,136 個預測日的六種模型對照

預測下一個交易日的波動，最常見的做法是標準波動模型。隨機波動模型是另一類做法。這份研究在三檔 ETF 上，把六種模型放進同一套評分，檢查隨機波動模型這一類比標準波動模型好還是差。

結論先講：在 2018-01-02 至 2026-07-02 的 2,136 個預測日，沒用日內高低價的兩個隨機波動模型，平均改善率分別是 −55.16% 與 −53.69%（負數代表平均預測誤差分數比標準波動模型差），各有 2 檔達到強證據的落後。加了日內高低價的版本平均只好 1.59%，三檔都沒有達到強證據的門檻。三檔裡唯一達到強證據的優勝，是下跌放大模型在 HYG。這只是用快速近似估計法做的試行版，不能推到所有隨機波動模型。

六種模型與評分方式

•  標準波動模型 ：最基本的一階版本，假設報酬是常態分配；基準，所有比較都對它。
•  指數加權法 ：用過去報酬的指數加權平均估計波動。
•  下跌放大模型 ：標準波動模型的變體，下跌時會放大波動，並改用厚尾的 t 分配描述報酬。
•  隨機波動模型 ：把波動當成一個看不見、會隨機變動的狀態，用卡爾曼濾波估計。
•  隨機波動（含下跌項） ：隨機波動模型加上前一天是否下跌。
•  隨機波動（加日內高低價） ：隨機波動模型再加上每天的最高價與最低價範圍當作第二個觀察值。

三檔 ETF 是高收益債 ETF（HYG）、美國大型股 ETF（SPY）、長天期公債 ETF（TLT），價格用還原價格。每個模型每年第一個交易日重估一次參數，每天預測下一個交易日的波動；每個預測只用前一天以前的資料。三個隨機波動模型一共估計 81 次，其中 81 次順利收斂，沒有改用備援方法。

評分有三項：

•  預測誤差分數 ：預測值與當天實際報酬平方比較，分數越低越好。
•  成對比較 ：每個模型對標準波動模型逐檔比較，統計量為負代表比基準好，絕對值要超過 3 才算強證據；超過的負數稱「贏」，超過的正數稱「輸」。
•  最壞損失線 ：用 5% 與 1% 兩個水準畫出每天的最壞損失線，再用突破比例檢定看實際被突破的比例。

平均預測誤差

「相對基準的改善率」是（基準分數減模型分數）除以基準分數，正數代表比基準好。表中的平均是三檔各自改善率的等權平均，所以 +1.59% 是三檔改善率平均出來的數字。

逐檔比較：只有一個強證據的優勝

下圖是每個模型對標準波動模型的成對比較統計量。

•  只有 HYG 的下跌放大模型達到門檻 ：統計量 −4.069，機率值 0.00005。
•  加日內高低價的版本三檔都沒達到 ：HYG 是 +0.082，SPY 是 −1.647（原始機率值 0.100），TLT 是 −2.160（原始機率值 0.031）。它在 SPY 與 TLT 的平均預測誤差分數最低，但沒有達到強證據的門檻，只能說平均略好，不能說證據足夠。
•  兩個沒用日內高低價的隨機波動模型各輸兩次 ：隨機波動模型在 HYG 是 +23.854、在 SPY 是 +4.081；含下跌項的版本在 HYG 是 +23.945、在 SPY 是 +3.381。HYG 的落後有一部分無法與參數搜尋界分離，見最後的限制。

指數加權法的零輸，差一點就不是零

指數加權法在表中輸 0 次、贏 0 次。但這個 0 對檢定的設定很敏感：它在 SPY 的統計量是 +2.989，距門檻 3 只差 0.011。檢定預設的落後期，是由樣本數 2,136 開立方後進位而得；把落後期縮短到 1、2 或 5，同一格的統計量會超過 3，分類就變成輸；拉長到比預設更長的兩個落後期，仍然沒有超過。其餘各格在所測的六個落後期下，分類都不變。所以 0 次輸只是預設落後期下的結果，不是穩健的零輸。

最壞損失線

5% 水準的突破比例檢定，每個模型在三檔 ETF 上各測一次：隨機波動模型只有 2 檔沒有被拒絕，被拒絕的是 SPY（機率值 0.033）；其餘五個模型，三檔都沒有被拒絕（沒被拒絕的檔數都是 3）。1% 水準方面，含下跌項的隨機波動模型在 SPY 的機率值是 0.007，同樣被拒絕。1% 水準的其餘各格，本文不逐一列出。

檢定沒有被拒絕，只代表這個檢定沒有抓到問題，不代表最壞損失線畫得正確。

這對你代表什麼

• 這份資料裡，沒用日內高低價的兩個隨機波動模型，平均預測誤差分數明顯比標準波動模型差；加了日內高低價的版本平均略好，但沒有達到強證據的門檻。
• 指數加權法沒有輸的紀錄，取決於檢定設定的落後期，不是穩健的結果。
• 這份結果不能告訴你哪一種模型該拿來實際使用，也不是對隨機波動模型整體的判決。

這個研究的限制

• 這是試行版：隨機波動模型用快速近似估計法（準最大概似加卡爾曼濾波），加日內高低價的版本也只是用每日高低價的近似，不是學界文獻裡完整的實作。結論只限於免費日頻價格、每年重估、這種近似估計下。
• 平均預測誤差分數排除了報酬平方為零的日子（那天的分數無法計算），成對比較則用全部 2,136 天；兩種口徑下三檔各自分數最低的模型相同，強證據的分類也不變。
• 命中參數搜尋界的估計有 12 次，全部在 HYG（隨機波動模型 5 次、含下跌項的版本 7 次），SPY 與 TLT 都是 0 次。所以隨機波動模型在 HYG 的落後，無法區分是模型形式造成，還是搜尋界造成。
• 條件涵蓋檢定所用的共用函式，在結果歸檔之後修改過邊界處理，所以本文不引用條件涵蓋檢定的數字。
• 只有三檔 ETF、2018-01-02 至 2026-07-02 一段期間。價格是還原價格。

本文僅為研究與教育用途，不構成投資建議。

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