K824：分位數方法決定 VaR 合規性——HistSim 打敗 Student-t 成新最佳實踐

摘要

本文報告 K824 實驗的核心發現：在使用  GJR-GARCH  作為波動率點預測引擎的前提下，分位數方法的選擇對 VaR 合規性具有決定性影響。Historical Simulation（歷史模擬法）在 Basel III 框架下表現最佳，更新了過去以 Student-t 分配為主的最佳實踐建議。

背景：點預測之後的問題

過去的研究（K802、K821 等）已確立  GJR-GARCH(1,1)  是 SPY 波動率點預測的冠軍模型：QLIKE 最低、DM 檢定顯著優於 GARCH。然而，點預測只告訴我們「明天的波動率大約是多少」，風險管理真正需要的是 分位數預測 （Quantile Forecast）：明天最差 1% 情境下的損失是多少？

VaR（Value at Risk）就是分位數預測的核心應用。巴塞爾協定（Basel II/III）要求銀行的內部 VaR 模型通過嚴格的回測（Backtesting），違反次數若超過閾值，將面臨額外資本要求甚至監管干預。

 K824 的問題 ：同樣使用 GJR 作為波動率引擎，搭配哪種分位數方法能通過 Basel 合規性考驗？

實驗設計

•  資產 ：SPY（美國大盤 ETF）
•  數據期間 ：訓練集 2006-2022，OOS 2023-2024（n=502 交易日）
•  波動率引擎 ：GJR-GARCH(1,1)，每 63 交易日滾動重估（參數：$\omega$=3×10⁻⁶, $\alpha$=0.008, $\beta$=0.862, $\gamma$=0.221, 持續性=0.980）
•  四種分位數方法 ：
  •  M1 Normal ：常態分配假設（z₁% = -2.326）
  •  M2 Student-t （K802 冠軍）：自由度 df=16.4，胖尾調整
  •  M3 Quantile Regression ：直接非參數迴歸
  •  M4 Historical Simulation（HistSim） ：歷史殘差的 empirical 分位數
•  回測標準 ：Kupiec 檢定 + Christoffersen 獨立性檢定 + Basel Traffic Light（三關全過 = Trinity PASS）

核心發現：合規性的天壤之別

圖說：左圖為 VaR 1% 違反次數（n=502，期望值≈5.02 次）；右圖為各分位數平均 Coverage 偏差。顏色代表 Basel 燈號。

VaR 1% 回測結果

 關鍵數字 ：HistSim 和 QuantReg 各僅有 4 次違反（違反率 0.80%），遠低於 Basel 黃燈門檻（9 次）；Normal 10 次已進入合規紅區；Student-t 的 8 次雖然通過 Kupiec 檢定，但整體仍落在黃燈。

VaR 5% 回測：四方法全過

在 5% 水準，所有方法均通過三關檢定（Trinity PASS），Basel 全綠。這說明方法差異主要體現在 尾端 （1% 極端情境），這正是真正的風險。

Coverage 精確度

HistSim 在 Coverage 偏差上同樣最小，反映其對尾部分配的刻畫最接近真實數據。

精度謎題：Pinball Loss 幾乎相同

這是本次實驗最反直覺的發現：四種方法的平均 Pinball Loss 幾乎 完全相同 ，差異僅在第 6 位小數：

DM 檢定顯示所有方法之間的差異均 不顯著 （所有 p 值 > 0.12，Harvey t < 3.0 門檻），無法在統計上區分哪個方法在 Pinball Loss 上更優。

 Winkler Score（預測區間寬度懲罰）  結果類似：Student-t 略優於 Normal（0.04628 vs 0.04633），但差距微乎其微。

這意味著什麼？

 方法的選擇不影響點預測精度，但決定了監管合規性。 

GJR-GARCH 的點預測能力是固定的——4 種分位數方法都在相同的 $\sigma$̂ 上操作。差異完全來自如何將 $\sigma$̂ 轉換成尾端分位數。Normal 假設低估了真實尾部（左尾損失比常態更胖），導致 VaR 被低估、違反次數過多。HistSim 直接使用歷史殘差的 empirical 分位數，自動捕捉了偏態和胖尾，因此無需參數假設。

最佳實踐更新

舊的最佳實踐（K802 之前）

GJR-GARCH + Student-t 分配 → 最佳整體方案
（Student-t 胖尾假設優於 Normal）

新的最佳實踐（K824 更新）

GJR-GARCH + Historical Simulation → Basel 合規最優
（直接使用殘差 empirical 分位數，無分配假設風險）

GJR-GARCH + Student-t → 備選方案
（仍比 Normal 好，但 Basel 1% 僅黃燈）

實際操作建議：

1.  日常風控報告 ：HistSim（綠燈，最低監管風險）
2.  壓力測試/模型備用 ：Student-t（胖尾有理論支撐，但需接受黃燈）
3.  避免 ：單純 Normal 假設（紅燈，違反監管要求）

局限性

•  樣本 ：OOS 期間為 2023-2024（n=502），屬於相對低波動市場環境（避開了 COVID 崩盤）。在高波動時期（2008、2020），結論可能有所不同
•  資產 ：僅測試 SPY。台股（0050.TW）因波動特性不同，尾部形狀差異更大，HistSim 的優勢可能更明顯，留待後續實驗
•  GJR 固定 ：本實驗假設 GJR 是最佳點預測引擎，未考慮與其他模型（HAR-RV、MEM）的組合

結論

 分位數方法決定合規性，不決定精度。  GJR-GARCH 的精確度由波動率引擎本身決定，Pinball Loss 在 4 種方法間幾乎相同（差異在第 6 位小數，統計不顯著）。但從監管角度，Historical Simulation 是唯一在 VaR 1% 水準通過 Basel Trinity 的方法（綠燈），Student-t 雖然比 Normal 好但僅達黃燈。

這一發現對量化風控有直接的實務意義：即使你已選定了最佳波動率預測引擎，分配假設的選擇仍是通過或失去監管合規的關鍵。

實驗腳本：experiments/k824_quantile_forecasting.py
結果數據：experiments/k824_quantile_forecasting_results.json
本文基於實驗 K824 的實證結果（數據來源：yfinance SPY，OOS 期間：2023-2024，n=502 交易日）