K1925：同一對低波動與高貝塔 ETF，原始相關有強烈斷點，扣掉大盤後就沒有——相關的定義決定 regime 結論

判斷兩檔因子 ETF 的關係「是否進入新階段」時，第一個要選的是相關怎麼定義，檢定方法反而在其次。這篇用低波動（SPLV）與高貝塔（SPHB）回答一個方法問題： 同一對 ETF、同一段期間、同一組斷點檢定，換一個相關定義，結論會不會翻過來？ 

會。原始報酬相關有樣本內最強的斷點，近期降到樣本內最低；扣掉大盤之後的偏相關，兩項預註冊檢定都沒有證據。兩個答案回答的是不同的問題，用錯一個就會下錯判斷。

設計

•  資料 ：Yahoo Finance 的 SPLV、SPHB、SPY 日資料，股利調整收盤的日對數報酬，主序列從 2011-05 到 2026-09。
•  月相關 ：每個日曆月（至少 15 個共同交易日）算一次相關，取 Fisher z。月份不重疊。
•  三種定義 ：
  •  原始報酬相關 ：不做任何調整，描述性；
  •  控制 SPY 的偏相關 ：預註冊的主定義；
  •  波動標準化後的偏相關 ：敏感度。
•  檢定 ：Andrews sup-Wald（修剪 0.15），以 AR(1) sieve bootstrap 校準（B＝2000）；CUSUM；Bai-Perron 動態規劃加 BIC 估斷點數與日期（描述性），並附 Bai（1997）斷點區間；最近 24 個月對先前所有月份的均值比較。
•  預註冊家族 ：主定義的兩項檢定（斷點存在、近 24 個月）合為一個 Holm 家族。另外三組複製配對（SPLV-MTUM、USMV-SPHB、USMV-MTUM）另成一個家族。原始相關與波動標準化只是敏感度，不進入主張規則。
• 種子根為 1925。

三種定義並列

 原始相關：斷點證據很強。  sup-Wald 是 39.38，bootstrap 95% 臨界值是 13.22。兩千次重抽樣中，沒有一次超過觀測值，bootstrap p 已經是這個 B 下能報的最小值；CUSUM 也一樣。最近 24 個月的平均相關是 0.101，先前是 0.617，t＝-5.59，兩千次重抽樣中只有兩次比它極端。BIC 選兩個斷點，相關由 0.773 降到 0.506、再降到 0.123，是一路往下走。

 偏相關：沒有證據。  主定義的 sup-Wald 是 7.36，低於臨界值 11.04，bootstrap p＝0.1729，Holm 後 0.346。最近 24 個月是 -0.386，先前是 -0.463，方向是近期較高，但 bootstrap p＝0.4038，Holm 後 0.404。波動標準化後的偏相關給出幾乎相同的數字。三組複製配對中，Holm 後 p 最小的是 USMV-MTUM 的斷點檢定，也有 0.525。

為什麼兩個定義會給出相反的判斷

原始相關裡有兩部分：兩檔 ETF 共同承受的大盤波動，以及扣掉大盤之後兩者的關係。偏相關把第一部分拿掉了。既然偏相關沒有顯著變化，原始相關的大幅下降就主要來自大盤那一部分：兩檔對大盤的曝險、或大盤波動占各自總波動的比重有了變化。本實驗沒有把原始相關拆成這幾項逐一估計，所以這是推論，不是分解驗證的結果。

Forbes 與 Rigobon（2002）指出，原始相關會隨波動水準機械性地上升或下降。所以原始相關的斷點，不能直接讀成兩個因子之間的結構變化。

這兩個定義各自對應一個實務決策：

•  同時持有兩檔、在意組合的總波動 ：該看原始相關。這方面的變化是真的，近期兩檔的總報酬同向程度是樣本內最低，分散效果比過去好。
•  判斷「低波動與高貝塔的因子關係是否改變」 ：該看偏相關。這方面沒有證據顯示改變，近期的水準落在過去的正常範圍內。
• 市面上的說法常把這兩件事混在一起。拿原始相關的斷點去支持「因子關係進入新 regime」，是用錯了量尺。

偏相關本身也有一個機械偏誤：SPLV 與 SPHB 是從同一個 S&P 500 母體挑出的兩組股票，控制 SPY 會把殘差相關推向負值，主定義的平均是 -0.454。只要成分組成穩定，這個偏誤在前後比較中大致會抵消；但指數成分與權重會定期重編，所以任何斷點都無法與指數編製機制完全分開。

斷點日期比斷點存在更不確定

在主定義下，BIC 也選了兩個斷點（2014-04、2023-09），但存在性檢定並不顯著。兩個斷點的 Bai 區間半寬是 42.6 與 25.6 個月，也就是說斷點日期的不確定性是兩到三年半。波動標準化版本只選一個斷點，區間半寬 44.4 個月。原始相關的兩個斷點區間半寬只有十一與十三個月左右，與它的強烈證據一致。

在有序列相依的月度序列上，BIC 傾向多估斷點。所以斷點數與日期只能當描述；有沒有斷點要看 sup-Wald 的 bootstrap p。

檢定力：主定義這樣的位移看不見

表中是近 24 個月檢定在合成資料上的檢定力（185 個月，位移以月 Fisher z 噪音的標準差為單位）。主定義估出的持續性是 0.367，介於表中 0.3 與 0.6 兩列之間。它需要的位移約 0.90 到 1.34 個標準差。

主定義實際觀測到的位移是 Fisher z 差 0.094，月 Fisher z 的標準差是 0.350，換算不到三分之一個標準差。在這個大小下，檢定力遠低於八成。此外，AR(1) sieve bootstrap 在合成資料上的實際拒絕率只有 0.025（名目 0.05），偏保守，實際檢定力還要更低。所以主定義的結論只能是「沒有證據」：這份資料分不出「沒有移動」與「中等強度的移動」。

原始相關不受這個限制。它的位移以 Fisher z 計是主定義的六倍以上，遠在可檢出的範圍內。

一個不進主張的敏感度

主定義另外報了 12 個月與 36 個月的近期視窗。36 個月視窗的 bootstrap p 是 0.0465，12 個月是 0.175。這兩個視窗事前就不在主張規則內，也沒有做多重比較校正。36 個月視窗大致就是 BIC 找到的最後一段（2023-09 以後），看的是同一段位移。在未校正、而且是從三個視窗中挑出來的情況下，0.0465 不構成證據。

限制

• 只有一個事前宣告的主配對；相關結構的變化與指數編製、成分重編無法分開。
• 原始相關下降的成因沒有做分解；「來自大盤成分」是由偏相關沒變推論出來的。
• 主定義的檢定力低，bootstrap 偏保守；BIC 與斷點區間在持續性序列上不精確。
• 資料只有 2011 年以後的 ETF；USMV 與 MTUM 的樣本起點較晚。
• 同一實驗另有一般讀者版，回答的是「扣掉大盤後，低波動與高貝塔是否同步走強」；本文處理的是相關定義如何改變 regime 判斷。

資料來源：Yahoo Finance（SPLV、SPHB、USMV、MTUM、SPY 日資料，至 2026-09-30）。實驗 K1925，凍結資料、預註冊與重現規格見 experiments/k1925/。