定期定額的年報酬為什麼幾乎都高於大盤？K1394 的一百零二個起點只裝得下一段獨立歷史

我們先前寫過〈幫小孩買 0050 存十八年，那條曲線其實是顛簸的〉，那篇講的是平滑複利試算漏掉的兩件事：波動會吃掉複利速度，起點不同、結果差很多。本文處理同一份回測裡兩個方法層面的問題，它們決定讀者能從這類表格帶走什麼。

第一個問題：每月定額的金額加權年報酬，和大盤的幾何年報酬放在同一張表上比較，比的是不是同一個量？第二個問題：從一百零二個起點算出來的分布，背後有幾段獨立的歷史？

設定

月末投入的時序寫在實驗程式裡：第 i 筆投入以當月月末價格買進，只承受之後月份的價格變化，估值時點與最後一筆投入同一個月末。純歷史回測，seed 42 只作規範保留。

大盤這一端：算術與幾何差了一個標準差平方的一半

算術減幾何的差距，在報酬近似對數常態時約等於年報酬變異數的一半。把 17.81% 平方再除以二，得到約一點五九個百分點，與實測的 159.3 個基點幾乎一致。這張表的用處是提醒：能拿來複利的是 8.76%，不是 10.36%。

定期定額這一端：第十百分位已經高過大盤

大盤幾何年報酬 8.76% 落在最小值與第十百分位之間，也就是說，至少九成的起點，定期定額的金額加權年報酬高於大盤的幾何年報酬，中位數高出二點六七個百分點。

把這個結果讀成「定期定額能打敗大盤」是錯的，原因有兩層。

第一層是加權方式。金額加權報酬讓每一個月的報酬依當時帳戶裡的錢加權。定期定額的帳戶前幾年很小、最後幾年最大，所以內部報酬率主要反映的是視窗最後幾年的行情。幾何年報酬則讓 25 個日曆年各佔一份。兩者回答的是不同的問題：前者問這筆現金流實際賺了多少，後者問一塊錢從頭抱到尾每年複利多少。Dichev（2007，American Economic Review）用同樣的區分說明，投資人實際拿到的金額加權報酬可以和買進持有報酬差很遠，差距來自資金進出的時點，而不是選了比較好的標的。

第二層是樣本時點。本樣本最深的兩段空頭，二○○○至二○○二年與二○○八年，都落在這一百零二個視窗的前半段，那時帳戶還小，扣款反而買到低價份額；視窗的後段則落在二○○九年以後的長多。下圖把一百零二個起點的金額加權年報酬依起點排開：

曲線大致隨起點往後上升，最高的 14.62% 出現在二○○八年六月起扣、二○二六年五月結束的視窗，最低的 8.37% 出現在二○○二年四月起扣、二○二○年三月結束的視窗，結束月正好是新冠疫情的崩跌。兩個極端的終點行情截然不同，這與金額加權報酬由最後幾年主導的性質一致。換一段前段平穩、後段走空的歷史，同一張表可以把高低順序倒過來。Constantinides（1979，Journal of Financial and Quantitative Analysis）證明，定期定額這種事先固定的投入規則，會被允許依新資訊調整的規則所支配；它本身不帶超額報酬。

一百零二個起點，只裝得下一段不重疊的十八年

第二個問題的答案比較直接。317 個月末值裡，一個視窗佔二百一十六個月，三百一十七個月只放得下一段完整而互不重疊的十八年。相鄰兩個起點共用二百一十五個月，上圖曲線看起來平滑，正是因為相鄰的點幾乎是同一段歷史。

所以分布表的第十與第九十百分位不是信賴區間，也不是一百零二次獨立抽樣的結果。它描述的是「同一段歷史換一個月開始扣款」會落在哪裡，屬於情境涵蓋，不能拿來推論下一個十八年的機率。最佳與最差視窗的終值倍數分別是 4.32 倍與 2.24 倍，最佳約為最差的一點九三倍，這個差距本身是真實的歷史紀錄，但它的出現頻率無法從這份資料估計。

限制

一、沒有扣交易成本與管理費。二、標普 500 是事後看來表現特別好的市場，生存者偏誤讓整個分布偏右，先前那篇用台股加權指數跑出的分布明顯更寬、更低，但加權指數是不含息的價格指數，兩邊的高低差有一部分來自股息口徑。三、實質終值以期末一次折現，本文沒有使用。四、本文對加權方式與樣本時點的解釋是機制說明，實驗沒有另外拆解兩者各佔多少。

可以帶走的

一、看到定期定額報酬率高於大盤時，先問比的是不是同一種報酬。金額加權與幾何報酬的差距，大部分是資金時點造成的，與策略優劣無關。二、滾動視窗的分布要先數獨立段落。本例的一百零二個起點，獨立的只有一段，它能說明歷史上發生過什麼，不能說明未來會發生什麼的機率。

資料來源：標普 500 ETF 調整後收盤（含股息再投資），2000-01-03 至 2026-05-19 共 6634 個交易日，月末值 317 個；大盤年報酬取 2001 至 2025 共 25 個完整日曆年。實驗編號 K1394，seed 42，結果檔 experiments/k1394/K1394_results.json；圖表以實驗程式逐視窗重算，並與結果檔的統計量逐值核對後繪製。